华为Wi-Fi6芯片 hi1105

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三角恒等式

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在几何上依据以O为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数。

三角函數示意圖
幾個三角函數的圖形,分別為正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割和正矢。配色與上圖相同

单位圆的角度

数学中,三角恒等式是对出现的所有值都为實变量,涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分:一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则,则通过三角恒等式可简化结果的积分。

为了避免由于的不同意思所带来的混淆,我們經常用下列兩個表格來表示三角函数倒数反函数。在表示余割函数時,’‘有时會寫成比較长的’‘。

函数 反函數 倒数
全寫 簡寫 全寫 簡寫 全寫 簡寫
sine sin arcsine arcsin cosecant csc
cosine cos arccosine arccos secant sec
tangent tan arctangent arctan cotangent cot
cotangent cot arccotangent arccot tangent tan
secant sec arcsecant arcsec cosine cos
cosecant csc arccosecant arccsc sine sin

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。

相同角度的轉換表
角度單位
角度
弧度
梯度

三角函數間的關係

畢達哥拉斯三角恒等式如下:

由上面的平方關係加上三角函數的基本定義,可以導出下面的表格,即每個三角函數都可以用其他五個表達。(严谨地说,所有根号前都应根据实际情况添加正负号)

函數

正矢餘矢半正矢半餘矢外正割用於航行。例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離,但他們不常用。

名稱 函數 [1]
正矢, versine

餘的正矢, vercosine
餘矢, coversine
餘的餘矢, covercosine
半正矢, haversine
餘的半正矢, havercosine
半餘矢, hacoversine
cohaversine
餘的半餘矢, hacovercosine
cohavercosine
外正割,exsecant
外餘割,excosecant
, chord
純虛數指數函數,
cosine and imaginary unit sine
輻角,Argument

通过检视单位圆,可确立三角函数的下列性质:

当三角函数反射自某个特定的值,结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式:

反射于 反射于 反射于 反射于

通过旋转特定角度移位三角函数,经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数。例如通过旋转弧度移位函数。因为这些函数的周期要么是要么是,新函数和没有移位的旧函数完全一样。

移位 移位
的周期
移位 移位
, , 的周期

圖示正弦與餘弦的角和公式,強調的線段是單位長度。

圖示正切的角和公式,強調的線段是單位長度。

它们也叫做“和差定理”或“和差公式”。最快的证明方式是欧拉公式

正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
注意正负号的对应。

这里的”“意味着索引遍历集合的大小为的所有子集的集合。

在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称:在每个乘积中,只有有限多个正弦因子和餘有限多个余弦因子。

如果只有有限多项是非零,则在右边只有有限多项是非零,因为正弦因子将变为零,而在每个项中,所有却有限多的余弦因子将是单位一。

,对于。设是变量基本对称多项式。则

项的数目依赖于。例如,

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

切比雪夫多项式
伸展多项式
棣莫弗定理虚单位

(這個的函數是狄利克雷核。)

這些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。

二倍角公式
三倍角公式
半角公式

倍角公式
(第二类切比雪夫多项式
(第一类切比雪夫多项式
倍遞迴公式
。(遞迴關係)

参见正切半角公式,它也叫做“万能公式”。

正矢
餘矢

从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。

正弦 餘弦 其他
餘弦 正弦
如果奇數
如果偶數

[2]
[2]
,,
,,
,,

數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

Proof for Sum-to-Product Identities.svg
积化和差 和差化积

如果
那么

如果

那么

如果

那么

如果(半圆)
那么:

(前三个等式是一般情况;第四个是本质。)

利用三角恒等式的指數定義雙曲函數的指數定義即可求出下列恆等式:

所以

下表列出部分的三角函數雙曲函數恆等式

三角函數 雙曲函數
  • 其他恆等式:

对于某些用途,知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下,我们有

这里的

更一般的说,对于任何相位移动,我们有

这里

为了用于特殊函数,有下列三角函数無窮乘積公式[3][4]

正弦的微分
正弦(藍色)、正弦的微分(橘色),其中,正弦的微分正好是餘弦。
餘弦的微分
餘弦(藍色)、餘弦的微分(橘色),其中,餘弦的微分正好是正弦的對x軸的鏡射。

微積分中,下面陳述的關係要求角用弧度來度量;如果用其他方式比如角度來這些關係會變得更加複雜。如果三角函數以幾何的方式來定義,它們的導數可以通過驗證兩個極限而找到。第一個是:

可以使用單位圓夾擠定理來驗證。如果用洛必達法則來证明這個極限,那也就用這個極限證明了正弦的导数是餘弦,並因此在應用洛必達法則中使用正弦的導數是餘弦的事實,就是邏輯謬論中的循環論證了。第二個極限是:

使用恆等式驗證。已經確立了這兩個極限,你可以使用導數的極限定義和加法定理來證明。如果正弦和餘弦函數用它們的泰勒級數來定義,則導數可以通過冪級數逐項微分得到。

結果的三角函數可以使用上述恆等式和微分規則來做微分。

三角函數積分表中可以找到積分恆等式。

三角函數(正弦和餘弦)的微分是同樣兩個函數線性組合的事實在很多數學領域包括微分方程傅立葉變換中是重要的基本原理。

函数 反函数

衍射光栅

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一块非常大的反射式衍射光栅

衍射光栅(diffraction grating)是光栅的一种。它通过有规律的结构,使入射振幅相位(或两者同时)受到周期性空间调制。衍射光栅在光学上的最重要应用是作为分光器件,常被用于单色仪光谱仪上。

实际应用的衍射光栅通常是在表面上有沟槽或刻痕的平板。这样的光栅可以是透射光栅反射光栅。可以调制入射光的相位而不是振幅的衍射光栅现在也能生产。

衍射光栅的原理是苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里发现的,发现时间大约在牛顿棱镜实验的一年后。詹姆斯·格雷戈里大概是受到了光线透过鸟类羽毛的启发。公认的最早的人造光栅是德国物理学家夫琅禾费在1821年制成的,那是一个极简单的金属丝栅网。但也有人争辩说费城发明家戴维·里滕豪斯于1785年在两根螺钉之间固定的几根头发才是世界上第一个人造光栅。

关于这部分的详细内容,请参见主条目:衍射

通常所讲的衍射光栅是基于夫琅禾费多缝衍射效应工作的。描述光栅结构与光的入射角和衍射角之间关系的公式叫“光栅方程”。

在传播时,波阵面上的每个点都可以被认为是一个单独的次波源;这些次波源再发出球面次波,则以后某一时刻的波阵面,就是该时刻这些球面次波的包络面(惠更斯原理)。

一个理想的衍射光栅可以认为由一组等间距的无限长无限窄狭缝组成,狭缝之间的间距为,称为光栅常数。当波长为λ的平面波垂直入射于光栅时,每条狭缝上的点都扮演了次波源的角色;从这些次波源发出的光线沿所有方向传播(即球面波)。由于狭缝为无限长,可以只考虑与狭缝垂直的平面上的情况,即把狭缝简化为该平面上的一排点。则在该平面上沿某一特定方向的光场是由从每条狭缝出射的光相干叠加而成的。在发生干涉时,由于从每条狭缝出射的光的在干涉点的相位都不同,它们之间会部分或全部抵消。然而,当从相邻两条狭缝出射的光线到达干涉点的光程差是光的波长的整数倍时,两束光线相位相同,就会发生干涉加强现象。以公式来描述,当衍射角满足关系时发生干涉加强现象,这里为狭缝间距,即光栅常数,是一个整数,取值为0,±1,±2,……。这种干涉加强点称为衍射极大。因此,衍射光将在衍射角为时取得极大,即:

上式即为光栅方程。当平面波以入射角θi入射时,光栅方程写为

入射光与衍射光在光栅法线同侧,取+; 入射光与衍射光在光栅法线异侧,取-。

衍射光栅强度分布(电脑模拟)

衍射光栅 电脑模拟

衍射光栅强度分布是衍射因子和干涉因子的乘积:[1]

其中 D 是 衍射因子

I 是干涉因子:

  1. ^ Karl Dieter Möller, Optics, 2nd edition p152-156
  • http://www.celomc.com
  • Adapted from a public domain entry in Federal Standard 1037C
  • National Optical Astronomy Observatories entry regarding volume phase holography gratings
  • Hutley, Michael, Diffraction Gratings (Techniques of Physics), Academic Press (1982) [1]
  • Loewen, Erwin & Evgeny Popov, Diffraction Gratings and Applications, CRC; 1 edition (1997) [2]
  • Palmer, Christopher, Diffraction Grating Handbook, 6th edition, Newport Corporation (2005) [3]
  • Greenslade, Thomas B., “Wire Diffraction Gratings,” The Physics Teacher, February 2004. Volume 42 Issue 2, pp. 76-77 [4]
  • Abrahams, Peter, Early Instruments of Astronomical Spectroscopy [5]