雅可比矩阵

向量分析中,雅可比矩阵(也称作Jacobi矩阵,英语:Jacobian matrix)是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。当其为方形矩阵时,其行列式称为Jacobi行列式。要注意的是,如果雅可比矩阵为方阵,那在英文中雅可比矩阵跟Jacobi行列式两者都称作 Jacobian

其重要性在于,如果函数  f : ℝn → ℝm 在点 x 可微的话,在点 x 的雅可比矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近,也代表雅可比矩阵是单变数实数函数的微分在向量值多变数函数的推广,在这种情况下,雅可比矩阵也被称作函数 f 在点 x 的微分或者导数。

代数几何中,代数曲线可比行列式’表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代数群,曲线可以嵌入其中。[来源请求]

它们全部都以普鲁士数学家卡尔·雅可比命名。

目录

假设某函数从 f : ℝn → ℝm, 从 x ∈ ℝn 映射到 向量 f(x) ∈ ℝm, 其雅可比矩阵是一 m×n 的矩阵,换句话讲也就是从 ℝn 到 ℝm 的线性映射,其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。

此函数 f 的雅可比矩阵 J 为 m×n 的矩阵,一般由以下方式定义:{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}

矩阵的分量可表示成:{\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}.}


雅可比矩阵的其他常用符号还有:{\displaystyle Df}、 {\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})} 或者 {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}.}

此矩阵的第 i行是由函数 f_{i} 的梯度函数所表示的,{\displaystyle 1\leq i\leq m}

如果 p\mathbb {R} ^{n} 中的一点,f在 p点可微分,根据数学分析, {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}是在这点的导数。在此情况下,{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}这个线性映射即 f 在点  p附近的最优线性逼近,也就是说当 x足够靠近点  p时,我们有{\displaystyle f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)}

讲更详细点也就是:{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)}

其中,o 代表小o符号,‖x − p‖ 为 x 与 p 之间的距离。

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